三百年的努力：破解费马大定理

学前班

三百年来，诸多杰出的数学家为破解费马大定理付出不懈的努力。

1637年，正职大律师，业余数学家的费马（时年36岁），在一本古代数学家的译著空白处写了几行字：
“不可能将高于二次的任意次幂表示成同次幂之和。”
他还写了一句话：“我已经发现了一个对此命题的绝妙证明，可惜空白的地方不够大，不足以把他写下来。”
他标注的那本书是一位叫做丢番图的数学家在公元三世纪前写的，费马标注的那页写着一个问题：求一个给定的平方数为两个平方数之和的方法。
这个问题的答案在公元前两千多年的巴比伦时代就有人知道，后来又被毕达哥拉斯发展成了我们知道的勾股定理。
但是费大叔批注中提到的命题，却引发了后世历经300多年的论证。因为没有人找到他留下的任何有关这个命题的论证记录。

1995年5月，普林斯顿的安德鲁·怀尔斯教授，终于把历时八年多的研究成果发布在了专业杂志《数学年鉴》上，联合署名的还有一个青年学者泰勒。这项发表宣告了费马大定理的最终攻克。
就在一年半以前，怀尔斯教授本来是打算在英国剑桥大学的一个专业数学论坛上一鸣惊人的。他想要震惊数学界，所以即便此前已经研究了7年，但很少有人知道他在做这项研究。

如果事情到这里就圆满结束了，也太对不起费马大定理论证道路上300多年的坎坷和波折了。这次论坛之后的两个月，一批数学家投入到对怀尔斯推论的检验中。
幸福来的有多突然，挫败就来的有多猛烈。结果，怀尔斯的论证果然存在漏洞。

知名数学家、科学史研究专家阿米尔·艾克赛尔的《费马大定理》讲述了费马大定理被攻克背后的发生的故事。在整个故事中，安德鲁·怀尔斯当然是非常重要的一个角色，但阿米尔想要告诉大家的是，其实怀尔斯是那个站在巨人肩膀上的幸运儿。而费马大定理的历史简直和人类的文明史一样深远悠久。
公元前2000年到前600年的巴比伦时代，美索不达米亚河谷就有了楔形文字，且贸易和建筑中就有了精密的数字测量，巴比伦人建立了基于60的数字系统，且有了平方的概念，楔形文字还记录了毕达哥拉斯三元数，也就是25=16+9，以及169=144+25，这样一些数组，毕达哥拉斯则用几何的方式得出了直角三星斜边平方等于其余两边平方和这样的定理。
公元前三世纪，微积分学的先驱阿基米德发现了求面积和体积的方法，那个启发费马的数学家丢番图发展了代数的概念并提出了一个特定类型的方程。费马提出费马大定理之后，声称也发现了论证方法，但是没有见到论证就没人敢称呼它为定理。1637年之后的300年间，很多人参与了论证，从论证指数n=3、4、5、7时，费马定理成立，到1850年，得益于库默尔的研究，人们知道费马大定理对于100以内的素数和对此范围内的素数的无穷多个倍数都是成立的，虽然还不是一般的证明，但是已经是相当大的成就了。
在此期间，欧拉发现虚数和复分析，以及他对拓扑学的贡献，高斯对复平面上解析函数的研究，傅里叶周期函数的推广，以及后来法国数学家庞加莱对拓扑学的开拓，他发现的自守形式和模形式，到最关键的谷山-志村猜想（任一有理数域上的椭圆曲线可用一模形式与之匹配），和弗雷的大胆猜测（如果谷山-志村猜想是对的，费马大定理就能被证明），以及里贝特对弗雷猜想的论证，对于后来费马大定理的论证都具有至关重要的作用。
论证费马大定理是10岁的安德鲁·怀尔斯的梦想。等到他真正成了一个数学家的时候，他反而没有机会去研究费马大定理。但当得知一切的论证都归结到如果论证志村-谷山猜想，就能攻克费马大定理时，怀尔斯坐不住了。20多年过去了，这是怀尔斯离梦想最近的时刻。
他把自己反锁起来，开始潜心研究，生怕一丁点的透露引来激烈的同行竞争。当然，怀尔斯的研究还是得到了导师约翰·科兹的点拨，还有吸收了科兹另一个学生弗莱切的研究成果，但是费马大定理这个300年攻克不破的难题所激发的能激发的一个数学家的斗志，还是令人震动的。
这个耗费了数代大学者心血的费马大定理，对于学界和社会有什么重大意义？可以用在什么地方吗？看完阿米尔的书，我很俗气地搜了一下这个问题。看到有人回答，没什么实际意义。还看到一个，一个好的数学问题，可以下“金蛋”，费马大定理就是那个可以下金蛋的鹅。



费马大定理这三百年，它经历了啥？
来源：科普中国发布时间：2018-11-08

在征服费马大定理三百多年的历程里，也有众多人类最耀眼的科学明星一同铺就通往明天的铁路。
在通往真理的道路上，到处都布满陷阱。

早期无数人的血汗铸就了今日的文明成就。同样，在征服费马大定理三百多年的历程里，也有众多人类最耀眼的科学明星一同铺就通往明天的铁路。

费马本人对大定理虽然一笔带过，却也留下了自己对这个问题的初步思考。他在另外一篇文章里，简单叙述了如何证明当“n=4”的时候，方程“(x^4)+(y^4)=(z^4)”不存在正整数解。不过费马对大定理的研究也止步于此，他并没有给出对其他自然数n的相关证明。在听闻费马的评注之后，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）也独立证明了“n=4”的情形,证明的手法与费马如出一辙。

在费马大定理提出后，18世纪最伟大的数学家之一欧拉（Euler）成为取得重大进展的第一人。1770年，欧拉证明了当“n=3”的时候，费马大定理成立。

此后，人们对费马大定理的证明进入了漫长的黑暗期。到了19世纪初，费马大定理已经成为数论中最著名的问题。就在人们一筹莫展的时候，一位年轻的法国女数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）带来了激动人心的突破。她对一类被后人称为热尔曼素数的自然数，证明了方程“大概”不存在整数解。



数学家索菲·热尔曼（图片来源：百度图片）

1825年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）和法国数学家勒让德（Legendre）使用热尔曼的方法成功地证明了大定理对“n=5”的时候成立。

14年后的1839年，另一位法国数学家拉梅（Lame）在热尔曼的工作进一步优化的基础上，一举证明了“n=7”的情形。

热尔曼的工作似乎为费马大定理指出了一条光明的大道。法国科学院于是设立了一系列的奖项，以奖励最终能证明费马大定理的数学家。法国科学家柯西（Cauchy）和拉梅都参与到这场竞争中。他们曾宣称已经证明了费马大定理，然而事实上，两人都以失败告终。

19世纪的星空注定不是最耀眼的时刻，真理仍然在黑暗中匍匐前行。这一百年间，费马大定理最为关键性的贡献来自于德国数学家库默尔（Kummer）。他创立了理想数理论，为代数数论奠定了基础。库默尔证明当n＜100时除37、59、67三数外费马大定理均成立，研究数论的技术在库默尔这里到达了巅峰。然而，对类似费马大定理这样的难题的证明来说，万里长征，才仅仅走了一小半。



数学家库默尔（图片来源：百度图片）

库默尔的工作给数学家们带来了前所未有的希望和迷茫。一方面，费马大定理证明因为库默尔发明的工具和理念而取得惊人的进展；而另一方面，库默尔的手法又让证明大定理的希望变得更加渺茫。沿着库默尔开创的道路走下去，既看不到终点，也看不清方向，大定理的证明还被笼罩在一片迷雾之中。曙光，还将留给20世纪的晨曦。

到了20世纪初，费马大定理虽然在数学家心目中占据着独特的位置，却已经渐渐失去了光泽。解决这个古老问题的尝试被私下嘲讽为炼金术一般，只有疯子和偏执狂才会去做这样荒谬的梦。此时，只有一剂强心针才能挽救人们对费马大定理的信心。



实业家沃尔夫斯凯尔（图片来源：百度图片）

1908年，对大定理的研究因为达姆斯塔特的一位德国实业家沃尔夫斯凯尔（Wolfskehl）而得到新生。这更为费马大定理增添了不可思议的传奇色彩。

沃尔夫斯凯尔在大学里学过数学，且对数论情有独钟。毕业后，他一方面继续家族的经商，一方面仍与职业数学家保持着联系。

不久，沃尔夫斯凯尔在向一位漂亮的年轻女性求爱时遭到了拒绝。自尊心受到强烈挫伤的他在失望下决定自杀。沃尔夫斯凯尔选好了自杀的日子，写下了遗嘱，并在自杀的那一天早早安排好了当天所有事情。眼看着自杀的吉时良辰还没到，为了消磨剩下的几个小时，他到图书馆开始翻阅数学书籍。

命运随即开启了一系列奇特的链式反应。沃尔夫斯凯尔看到了库默尔的经典工作，很快他就被库默尔的思想和计算吸引住了。在他一行行开始验算的时候，突然发现了库默尔证明的一个漏洞！

他仔细审阅了这个证明，开始思考关键性的补救工作。幸运的是，工作到黎明时分的他终于解决了库默尔的问题，而此时距离他自杀的时间已经过去了。他对自己能发现并改正那个时代最伟大的数论学家库默尔的工作而感到无比骄傲，而这个工作和费马大定理也密切相关。幸福的情绪很快弥漫在他脑海里，终于让他放弃了自杀的念头。

沃尔夫斯凯尔撕毁了自己的遗嘱。1908年，在他去世之前，新遗嘱问世。这是一个让所有人瞠目结舌的遗嘱。沃尔夫斯凯尔为了感谢这个挽救过他生命的复杂难题，将他大部分的遗产设立为一个大奖，以此奖励第一个证明费马大定理的人。

沃尔夫斯凯尔的巨额奖金再一次将费马大定理推上了风口浪尖。大定理再次点燃了众人的热情，很快吸引了众多的参与者。

与此同时，20世纪数学的发展大大出乎人们的意料。1931年，哥德尔（Godel）首先证明了令人惊异的不完备定理。该定理指出存在一些问题，永远无法被证伪或者证实。这样的问题被哥德尔称为“不可判定”的问题。然而，哥德尔的证明仅仅是理论预言这类诡异的问题，当时人们关注的重大问题中还没有出现这样的异类。到了1963年，美国数学家科恩（Cohen）则首先证明了“连续统假设”的不可判定性。

哥德尔的工作，加上科恩给出的具体的不可判定的问题，让人们对“费马大定理”产生了深深的恐惧。如果费马大定理是不可判定的，那么数个世纪以来，数学家花费无数的时间却是在寻找一个根本不存在的证明。其结果可能是，费马大定理也许是对的，但就是无法证明它。



电影《模仿游戏》中的阿兰·图灵与图灵机（图片来源：豆瓣网）

尽管如此，在研究费马大定理的过程中，数学家们还是创造了许多新的理论和方法，特别是计算机的诞生也为费马大定理的证明提供另一种思路。1955年，n＜4002的情形已经得到证实。此后，随着计算机能力的加强，n的值也被迅速推进。1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n＜125000，1985年美国数学家罗瑟证明n＜41000000。然而，从有限到无穷，仍然是无法跨越的险峰天堑，人们在缓慢而艰难地推进着定理的证明。

三百年来，在探索大定理出路的小径上，已经留下无数英雄孤独的身影。大定理的每一小步，都是数学史上浓重的一笔。没有人知道，这条小路会将人们带向何方。

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